Монография представляет собой переиздание книги, впервые опубликованной в 1988 году в издательстве ЛГУ. В ней излагаются методы качественного исследования интегрируемых систем механического происхождения с нелинейными первыми интегралами. Основной объект приложения - задача о движении твердого тела (гиростата) около неподвижной точки в осесимметричном силовом поле. Разработаны аналитические методы топологического анализа механических систем, не привлекающие аппарата математической теории интегрируемых гамильтоновых систем. Исследована фазовая топология случаев интегрируемости Л.Эйлера - Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина - Л.Н. Сретенского, С.В.Ковалевской. Исправлен ряд опечаток первого издания, добавлены отдельные комментарии. Книга рассчитана на научных работников в области дифференциальных уравнений и теоретической механики, аспирантов и студентов механико- математических факультетов.