Dieses Buch mochte zahlentheoretische Probleme darstellen, wie ich sie seit etwa 15 Jahren in Vorlesungen an der Universit~t (TH) Karlsruhe, sp~ter auch an der P~dagogischen Hochschule Karlsruhe, behandelt habe. Nachdem es trotz mancher "Unkenrufe aus scheinbar kompetentem Munde" urn 1950 gelang, die beiden Hauptsatze der analytischen Zahlentheorie elementar - i. e. ohne sehr tiefliegende Satze aus der Theorie komplexer Funktionen - zu beweisen, waren Freude und Erstaunen gleichermaBen erheblich. Bis zu dieser Zeit blieben die Beweise der S~tze von GauB und Dirichlet fast ausschlieBlich speziellen Oberseminaren vorbehalten und wurden in normal en Vor­ lesungen lediglich zitiert. W~hrend Dirichlet den nach ibm be­ nannten Satz: "Jede aritbmetische Folge erster Ordnung a·n+b (mit teilerfremden ganzrationalen Zahlen a und b)enth~lt unend­ liche viele Primzahlen" selbst beweisen konnte, hat GauB die nach ibm benannte Aussage: "lim ,,(x) ~lOgx = 1 (wobei ,,(x) fUr die -- zahl der Primzahlen unterhalb x steht) II nur ausgesprochen. Sie wurde erstmals 1896 von Hadamad (1865 bis 1963) und de la Vallee Poussin (1866 bis 1962) bewiesen. Heute ist es durch die im 4. und 5. Kapitel dieses Buches ausfUl~lich behandelten Ergebnisse moglich, die genannten Hauptsatze lediglich mit Mitteln zu be­ weisen, zu deren Voraussetzungen nicht"mehr gehort als im Mathe­ matikunterricht ,der SI- und SII-Stufe erortert wird. Von diesen Kenntnissen geht die vorliegende Darstellung aus. Die heute verbreitete Schreibweise fUr Mengen, fUr Relationen und fUr Strukturen ist sehr sparsam verwendet.